Karl Brodowsky's IT-Blog

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Alle, die in der Grundschule noch das handschriftliche Addieren gelernt haben, kennen das Verfahren eigentlich. Es ist nichts anderes als das, nur nicht im Zehnersystem, auch nicht im Zweiersystem, sondern im 256er-System (8 Bit), 65536er-System (16 Bit), 4294967296er-System (32 Bit), 18446744073709551616er-System (64 Bit) oder was auch immer die Wortbreite der CPU ist. Dass man immer mit Zweierpotenzen arbeitet, ist heute üblich, aber es kann durchaus sein, dass man von unseren zweiwertigen Bits einmal auf dreiwertige „Trits“ wechselt, wenn sich die Hardware-Technologie weiterentwickelt. Wir werde es sehen.

Ich finde es zwar nicht sinnvoll, dass man sich bei der Applikationsentwicklung mit solchen Details auf Bit-Ebene herumschlagen muss, aber da man ja mit Java, C, C++, C# und ähnlichen Sprachen heute einen großen Teil der Applikationsentwicklung durchführt, kommt man daran nicht vorbei. Diese Sprachen zwingen den Entwickler, sich mit diesen Fragen zu einem gewissen Maße auseinanderzusetzen, um deren Darstellungen ganzer Zahlen zu verstehen. Aber das „Carry“-Bit sieht man leider in diesen Sprachen nicht, obwohl es für das Verständnis wichtig ist.

Ich habe mich seit etwa Anfang der 80er Jahre damit beschäftigt, Software zu erstellen. Die damals für mich zugänglichen Rechner waren 8-Bit-Rechner mit 6502 oder 6510 als CPU und 1 MHz Taktfrequenz. Man konnte sie in einem Basic-Dialekt programmieren, aber das war für viele Zwecke unbrauchbar, weil es zu langsam war. So kam Assemblersprache zum Einsatz. Ich habe dann später noch 680×0-Assembler und 80×86-Assembler verwendet, aber ab Mitte der 90er Jahre kam das eigentlich nicht mehr vor. Eine 8-Bit-CPU kann zwei 8-Bit-Zahlen miteinander addieren und dabei ein 8-Bit-Ergebnis liefern. Dabei gibt es zwei Varianten zu unterschieden, nämlich signierte Ganzzahlen, die meistens im Zweierkomplement dargestellt werden. Das bedeutet, dass das erste Bit das Vorzeichen codiert. Somit sind die Werte von 0 bis 127 postive Ganzzahlen, wie man es erwartet. Die 127 hat das Bit-Muster 01111111. Nun könnte man meinen, dass das Bitmuster 10000000 die direkt darauffolgende Zahl, also 128 ist, aber in Wirklichkeit ist das die -128, weil ja das erste Bit das Vorzeichen codiert und die „1“ für negatives Vorzeichen steht. Erhöht man die -128 weiter, erhöht sich der Zahlwert, weiter, wird also weniger negativ. Man hat dann am Schluss 11111111, um die -1 auszudrücken. Dieses etwas obskure Verhalten ist plausibel, wenn man sich vorstellt, nicht mit ganzen Zahlen zu rechnen, sondern mit Restklassen modulo 256. Dabei werden zwei Zahlen also kongruent, also zusammengehörig, angesehen, wenn sie sich nur um ein Vielfaches von 256 unterscheiden. Um alle 256 möglichen Restklassen abzudecken, kann man als Vertreter die Zahlen von 0 bis 255 (unsigned byte) oder von -128 bis 127 (signed byte, Zweierkomplement) verwenden. Beides kommt in unseren heutigen Programmiersprachen vor.

Für das Carry-Bit nehme ich zunächst der Einfachheit einmal an, dass wir nur mit nicht-negativen Zahlen rechnen. Die möglichen Werte eines Speicherworts sind also von bis , wobei die Wortbreite ist, also in unserem Beispiel 8. Heutige CPUs haben normalerweise 64bit Wortbreite, was nichts an der prinzipiellen Funktionisweise ändert, aber mit 8Bit ist das Beispiel übersichtlicher. Jeder kann sich vorstellen, wie sich das Prinzip auf 32 oder 64 oder 36 oder auch 96 Bit übertragen ließe.

Es steht also die Bitfolge 11111111 für 255. Nun kann man mit einem Assemblerbefehl, der oft ADD oder so ähnlich heißt, zwei solche Zahlen addieren. Das heißt, dass die Addition innerhalb der CPU als eine einzige Operation innerhalb von einem oder einigen wenigen Taktzyklen durchgeführt werden kann. Nun ergibt die Addition von zwei unsignierten 8-Bit-Zahlen eine Zahl zwischen 0 und 510 (111111110 binär), leider zu viel für ein Byte. Mit einem Bit mehr ließe sich das aber ausdrücken. So behilft man sich, indem man die niedrigen 8 Bit des Ergebnisses als Resultat akzeptiert, aber das neunte, oberste Bit, das nun 0 oder 1 sein kann, in einem sogenannten Carry-Bit oder Carry-Flag oder Übertragsbit in der CPU speichert. Dieses kann man nun abfragen und davon abhängig einen anderen Pfad einschlagen, zum Beispiel eine Fehlerbehandlung wegen eines Überlaufs auslösen, wenn die weiteren Verarbeitungsschritte nicht in der Lage sind, mehr als 8-Bit zu verwenden. Aber es gibt auch eine sehr elegante Lösung, die zum Zuge kommt, wenn man Zahlen addiert, die mehrere Bytes (oder CPU-Worte) breit sind. Ab der zweiten Addition verwendet man so etwas wie ADC („Add with Carry“). Dabei wird das Carrybit, das 0 oder 1 ist, als dritter Summand einbezogen. Damit ist das Ergebnis diesmal sogar zwischen 0 und 511 (111111111 binär). Wieder erhält man ein Carry-Bit. Man kann diese Addition nun fortfahren, bis man alle Bytes der Summanden verarbeitet hat. Wenn sie verschieden lang sind, kann man die oberen Bytes des kürzeren Summanden durch 0 ersetzen, solange das Carry-Bit noch 1 ist, oder ansonsten die Bytes des längeren Summanden einfach übernehmen. Um das Gesamtergebnis auszudrücken braucht man in diesem Fall eventuell ein Byte (oder CPU-Wort) mehr als der längere der beiden Summanden hat.

So lässt sich relativ einfach eine Langzahladdition in Assemblersprache schreiben. Es ist einer der größten Design-Fehler vieler heutiger Programmiersprachen, insbesondere von C, dass sie einerseits mit Low-Level-Ganzzahltypen ausgestattet sind, aber andererseits uns das Carry-Bit vorenthalten, so dass man dieses mit viel Gebastel ermitteln muss.

Die Subtraktion von Langzahlen funktioniert sehr ähnlich, dafür gibt es meist ein SBC („subtract with carry“) oder SBB („subtract with borrow“), je nachdem, wie das Carry-Bit bei der Subtraktion interpretiert wird.

Für die vorzeichenbehafteten Ganzzahlen muss man beim jeweils höchsten Byte der beiden Summanden aufpassen und hier das Vorzeichenbit berücksichtigen. Häufig gibt es ein sogenanntes Overflow-Bit, das in diesem Fall zumindest erkennen lässt, wann man ein weiteres Speicherwort benötigt.

Die 64-Bit-Addition heutiger CPUs könnte prinzipiell so funktionieren, dass sie bitweise nacheinander oder byteweise nacheinander mit Carry addiert. Mir sind die Implementierungsdetails von ARM, Intel und AMD zwar nicht bekannt, aber ich gehe davon aus, dass man dort eine größere Parallelisierung der Operation verwendet. Es gibt Algorithmen, die es so ermöglichen, eine Langzahladdition unter Verwendung von Parallelisierung wesentlich schneller auszuführen als mit dem hier beschriebenen Verfahren. Vielleicht schreibe ich dazu auch irgendwann einmal etwas, wenn es jemanden interessiert.

Interessant ist es auch, Multiplikation, Division, Quadratwurzel, Kubikwurzel und ähnliches zu berechnen. Auch damit habe ich Erfahrung, kann das also bei Interesse gerne beschreiben. Kurz gesagt sind diese Operationen auf heutigen CPUs sehr einfach in Assemblersprache zu implementieren, weil dort Multiplikation und Division bereits vorhanden sind, aber es geht auch mit 8-Bit-CPUs ohne Multiplikationsbefehl, falls das jemanden aus Nostalgiegründen interessieren sollte. Gerade für die Multiplikation gibt es aber wesentlich bessere Algorithmen, wenn die Faktoren sehr lang sind.

Ich möchte einen Artikel über die mögliche Ermittlung des Carrybits in C verfassen. Dieser wird auf Englisch erscheinen und unter der englischen Übersetzung dieses Artikels als Ping-Back verlinkt sein.